answer:1. Consider a convex polygon with (13) vertices and (200) additional points inside it, leading to a total of (213) points. 2. According to the problem, no three points (including the polygon vertices) are collinear. 3. We need to find the maximum number of triangles that can be formed with vertices being any three of these (213) points. 4. The number of triangles that can be formed with (213) points where no three points are collinear is given by the combination formula ( binom{n}{3} ): [ binom{213}{3} = frac{213 times 212 times 211}{3 times 2 times 1} ] 5. However, we also need to consider the constraints of the polygons and the internal angles, ensuring all points form a part of triangles within the convex (13)-gon. 6. If each point counts as the vertex of at least one triangle, each internal point lies on exactly one diagonal inside the polygon, helping form triangles. 7. We calculate the angles subtended by (13)-gon: [ 180^circ times (13-2) = 180^circ times 11 = 1980^circ ] 8. Adding inner points: [ 1980^circ + 360^circ times 200 = 1980^circ + 72000^circ = 73980^circ ] 9. Since each triangle interior angle sums up to (180^circ): [ frac{73980^circ}{180^circ} = 411 ] # Conclusion: Hence, the maximum number of triangles formed is ( boxed{411} ).

answer:Given that the centroid (and hence the circumcenter) of the equilateral triangle is at the origin, the vertices of the triangle are equidistant from the origin. This suggests that the vertices lie on a circle centered at the origin. For an equilateral triangle, all vertices lie on both the ellipse (x^2 + 3y^2 = 3) and this circle. Let's find the radius (r) of the circle. A point ((x, y)) on the ellipse satisfies (x^2 + 3y^2 = 3). On the circle, the same point satisfies (x^2 + y^2 = r^2). For the triangle to be equilateral, (r) must be such that these points are also vertices of the equilateral triangle. The vertices of the triangle on the ellipse must satisfy both equations. Setting (x^2 + y^2 = r^2) equal to (x^2 + 3y^2 = 3) gives: [x^2 + y^2 = x^2 + 3y^2 - 2y^2 = 3 implies 2y^2 = r^2 - 3.] Also from the ellipse equation: [x^2 = 3 - 3y^2.] Substituting into the circle equation: [3 - 3y^2 + y^2 = r^2 implies 3 - 2y^2 = r^2.] Setting (3 - 2y^2 = 2y^2 - 3) and solving for (y^2), we find (y^2 = frac{3}{2}) and (x^2 = frac{3}{2}). Hence (r^2 = 3). The side length (s) of the equilateral triangle is then (s = sqrt{x^2 + y^2} = sqrt{3}). The area (A) of the triangle is: [A = frac{sqrt{3}}{4} s^2 = frac{sqrt{3}}{4} times 3 = frac{3sqrt{3}}{4}.] The square of the area is: [boxed{frac{27}{16}}.]

answer:# Lösung: **(a)** Gibt es eine Kette, auf der die Hälfte der Perlen schwarz und die andere Hälfte grün ist, aus der man mit solchen Schritten eine Kette aus lauter blauen Perlen erhalten kann? **Lösung:** Ja, eine solche Kette gibt es. 1. Da 2016 durch 4 teilbar ist, können wir abwechselnd zwei schwarze und zwei grüne Perlen nehmen, also das Muster SSGGSSGG...SSGG wiederholen. 2. Betrachten wir einen Schritt der Umwandlung: - Jede Perle wird durch eine neue Perle ersetzt, basierend auf den Farben der beiden benachbarten Perlen. - Falls die beiden Nachbarperlen dieselbe Farbe haben (Schwarz-Schwarz oder Grün-Grün), wird die neue Perle dieselbe Farbe annehmen. - Falls die beiden Nachbarperlen unterschiedliche Farben haben (Schwarz-Grün oder Grün-Schwarz), wird die neue Perle Blau sein. 3. Da wir das Muster SSGGSSGG... haben, für jede schwarze Perle (S) haben wir: - Links eine schwarze Perle und rechts eine grüne Perle -> die neue Perle wird Blau. - Rechts eine grüne Perle und nächst eine schwarze Perle -> die neue Perle wird Blau. Dasselbe gilt auch für die grüne Perle. 4. Wir sehen, dass im ersten Schritt alle Perlen durch blaue Perlen ersetzt werden (da in jedem Fall zwei verschiedene Farben als Nachbarn vorhanden sind). **Schlussfolgerung:** Es existiert eine solche Kette, die zu einer Kette aus lauter blauen Perlen führt. [ boxed{Ja} ] **(b)** Gibt es eine Kette, auf der tausend Perlen schwarz und die übrigen grün sind, aus der man mit solchen Schritten eine Kette aus lauter blauen Perlen erhalten kann? **Lösung:** Es gibt keine solche Kette. 1. Wir verwenden die Zuordnung der Farben zu den Zahlen: - Blau: 0 - Grün: 1 - Schwarz: 2 2. Bei jedem Schritt verändert sich die Farbe einer Perle basierend auf der negativen Summe der Farben ihrer Nachbarn modulo 3. Dies bedeutet: [ text{neue Farbe} equiv - (text{Farbe der linken Nachbarperle} + text{Farbe der rechten Nachbarperle}) pmod{3} ] 3. Die neue Gesamtsumme aller Perlenfarben modulo 3 bleibt konstant im Verlauf der Umwandlung. Dies ergibt sich aus der [ text{Multiplizierung} times (-2) equiv text{Multiplizierung} times 1 pmod{3}. ] 4. Die ursprüngliche Gesamtsumme: [ 1000 cdot 2 + 1016 cdot 1 = 2000 + 1016 = 3016 equiv 1 pmod{3} ] 5. Die Gesamtsumme aller blauen Perlen ist: [ 0 ] **Schlussfolgerung:** Da wir unsere Kette aus lauter blauen Perlen niemals von einer solche Kette mit der Summe 1 modulo 3 kommen kann. [ boxed{Nein} ] **(c)** Ist es möglich, von einer Kette, die genau zwei benachbarte schwarze und sonst nur blaue Perlen enthält, mit solchen Schritten zu einer Kette zu kommen, die genau eine grüne und sonst nur blaue Perlen enthält? **Lösung:** Es ist nicht möglich. 1. Betrachten wir die Perlenfarben modulo 3, dabei: - Blau: 0 - Grün: 1 - Schwarz: 2 2. Die Summen der Perlenfarben in geraden und ungeraden Positionen werden unabhängig voneinander aktualisiert (d.h. jede Summe modulo 3 bleibt innerhalb ihrer jeweiligen Positionengruppen konstant). 3. Am Anfang haben wir: - Summe der Farben in ungeraden Positionen: 2 (eine schwarze Perle mit 2) - Summe der Farben in geraden Positionen: 2 (eine schwarze Perle mit 2) 4. Am Ende wollen wir: - eine grüne Perle mit 1, also eine Summe von 1 - Rest alle blau mit der Summe von 0 **Schlussfolgerung:** Dies ist nicht möglich, soziale Summe eine ändert Summe modulo 3 auf 0 zu bringen. [ boxed{Nein} ]

answer:To negate the proposition "exists x in mathbb{R}, x+2 leqslant 0", we follow the logical rules of negation for quantifiers and inequalities. 1. The negation of an existential quantifier (exists) is a universal quantifier (forall). This means we are changing from "there exists" to "for all". 2. The negation of the inequality x+2 leqslant 0 is x+2 > 0. This is because the negation of "leqslant" (less than or equal to) is ">" (greater than). Combining these two steps, the negation of the original proposition is: forall x in mathbb{R}, x+2 > 0. Therefore, the correct answer is boxed{D}.